sin^3x的不定积分（cos3xsin3x的不定积分）

设u=sinx，dv=dx，则du=cosxdx，v=x-1/3cos^3x。根据分部积分公式∫udv=uv-∫vdu，我们有：∫sin^3xdx=∫dx=∫udv=uv-∫vdu=sinx-∫dx然后我们再次应用分部积分。

我们可以将sin^3x展开为sinx(1-cos^2x)，然后进行分部积分。

设u=sinx，dv=(1-cos^2x)dx，则du=cosxdx，v=x-1/3cos^3x。

根据分部积分公式 ∫u dv = uv - ∫v du，我们有：

∫sin^3x dx = ∫(sinx)(1-cos^2x)dx

= ∫u dv

= uv - ∫v du

= (x-1/3cos^3x)sinx - ∫(x-1/3cos^3x)(cosx)dx

然后我们再次应用分部积分。

设u=(x-1/3cos^3x)，dv=cosxdx，则du=(1-1/3cos^2x)dx，v=sinx。

根据分部积分公式，我们有：

∫sin^3x dx = (x-1/3cos^3x)sinx - ∫(x-1/3cos^3x)(cosx)dx

= (x-1/3cos^3x)sinx - ∫u dv

= (x-1/3cos^3x)sinx - (uv - ∫v du)

= (x-1/3cos^3x)sinx - (sinx[(x-1/3cos^3x)] - ∫(x-1/3cos^3x)(1-1/3cos^2x)dx)

再次整理得到：

∫sin^3x dx = (x-1/3cos^3x)sinx - sinx[(x-1/3cos^3x)] + ∫(x-1/3cos^3x)(1-1/3cos^2x)dx

这是sin^3x的不定积分（cos3xsin3x的不定积分）。